Selasa, 23 Maret 2010

biologi

Biologi (ilmu hayat) adalah ilmu mengenai kehidupan. Istilah ini diambil dari bahasa Belanda "biologie", yang juga diturunkan dari gabungan kata bahasa Yunani, βίος, bios ("hidup") dan λόγος,logos ("lambang", "ilmu"). Dahulu—sampai tahun 1970-an—digunakan istilah ilmu hayat (diambil dari bahasa Arab, artinya "ilmu kehidupan").

Obyek kajian biologi sangat luas dan mencakup semua makhluk hidup. Karenanya, dikenal berbagai cabang biologi yang mengkhususkan diri pada setiap kelompok organisme, seperti botani, zoologi, dan mikrobiologi. Berbagai aspek kehidupan dikaji. Ciri-ciri fisik dipelajari dalam anatomi, sedang fungsinya dalam fisiologi; Perilaku dipelajari dalam etologi, baik pada masa sekarang dan masa lalu (dipelajari dalam biologi evolusioner dan paleobiologi); Bagaimana makhluk hidup tercipta dipelajari dalam evolusi; Interaksi antarsesama makhluk dan dengan alam sekitar mereka dipelajari dalam ekologi; Mekanisme pewarisan sifat—yang berguna dalam upaya menjaga kelangsungan hidup suatu jenis makhluk hidup—dipelajari dalam genetika.

Saat ini bahkan berkembang aspek biologi yang mengkaji kemungkinan berevolusinya makhluk hidup pada masa yang akan datang, juga kemungkinan adanya makhluk hidup di planet-planet selain bumi, yaitu astrobiologi. Sementara itu, perkembangan teknologi memungkinkan pengkajian pada tingkat molekul penyusun organisme melalui biologi molekular serta biokimia, yang banyak didukung oleh perkembangan teknik komputasi melalui bidang bioinformatika.

Ilmu biologi banyak berkembang pada abad ke-19, dengan ilmuwan menemukan bahwa organisme memiliki karakteristik pokok. Biologi kini merupakan subyek pelajaran sekolah dan universitas di seluruh dunia, dengan lebih dari jutaan makalah dibuat setiap tahun dalam susunan luas jurnal biologi dan kedokteran.

Asal mula biologi


Aristoteles dan biologi

Ilmu biologi dirintis oleh Aristoteles, ilmuwan berkebangsaan Yunani. Dalam terminologi Aristoteles, "filosofi alam" adalah cabang filosofi yang meneliti fenomena alam, dan mencakupi bidang yang kini disebut sebagai fisika, biologi, dan ilmu pengetahuan alam lainnya.

Aristoteles melakukan penelitian sejarah alam di pulau Lesbos. Hasil penelitiannya, termasuk Sejarah Hewan, Generasi Hewan, dan Bagian Hewan, berisi beberapa observasi dan interpretasi, dan juga terdapat mitos dan kesalahan. Bagian yang penting adalah mengenai kehidupan laut. Ia memisahkan mamalia laut dari ikan, dan mengetahui bahwa hiu dan pari adalah bagian dari grup yang ia sebut Selachē (selachians).[2]

Didirikannya biologi modern

Istilah biologi dalam pengertian modern kelihatannya diperkenalkan secara terpisah oleh Gottfried Reinhold Treviranus (Biologie oder Philosophie der lebenden Natur, 1802) dan Jean-Baptiste Lamarck (Hydrogéologie, 1802). Namun, istilah biologi sebenarnya telah dipakai pada 1800 oleh Karl Friedrich Burdach. Bahkan, sebelumnya, istilah itu juga telah muncul dalam judul buku Michael Christoph Hanov jilid ke-3 yang terbit pada 1766, yaitu Philosophiae Naturalis Sive Physicae Dogmaticae: Geologia, Biologia, Phytologia Generalis et Dendrologia.
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

pemograman struktur

Struktur program C/C++

gimana se struktur program dalam C/ C++, aku bingung ne. seperti deklarasi variable, program utama.
trs apa artinya
int main();
void main();
mohon penjelasannya
newbie mode on ^^

code :
#include "headerlain.h" // include deklarasi dari file lain

fungsi_a(); //deklarasi fungsi
int y; //deklarasi variabel disini jg bisa . Sifatnya global , bisa dilihat oleh semua fungsi di file ini saja .

int main()
{
int x; //deklarasi variabel
fungsi_a();

return (1);
}

fungsi_a()
{
//bla bla
}
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

hukum newton tentang gravitasi

Pada pembahasan mengenai pokok bahasan kinematika (gerak lurus dan gerak bengkok, kita telah menyinggung mengenai Gravitasi. Pada kesempatan ini, kita akan mempelajari Gravitasi secara lebih mendalam.

Mengapa buah mangga yang lezat dan bergizi yang terlepas dari tangkainya selalu jatuh ke permukaan bumi ? ayo dijawab…

Selain mengembangkan tiga hukum tentang Gerak (Hukum I Newton, Hukum II Newton dan Hukum III Newton), eyang Newton juga menyelidiki gerakan planet-planet dan bulan. Ia selalu bertanya mengapa bulan selalu berada dalam orbitnya yang hampir berupa lingkaran ketika mengitari bumi. Selain itu, ia juga selalu mempersoalkan mengapa benda-benda selalu jatuh menuju permukaan bumi. Wililiam Stukeley, teman eyang Newton ketika masih muda, menulis bahwa ketika mereka sedang duduk minum teh di bawah pohoh apel, eyang Newton yang waktu itu masih muda dan cakep, melihat sebuah apel jatuh dari pohonnya. Dikatakan bahwa eyang Newton mendapat ilham dari jatuhnya buah apel. Menurutnya, jika gravitasi bekerja di puncak pohon apel, bahkan di puncak gunung, maka mungkin saja gravitasi bekerja sampai ke bulan. Dengan penalaran bahwa gravitasi bumi yang menahan bulan pada orbitnya, eyang Newton mengembangkan teori gravitasi yang sekarang diwariskan kepada kita.

Perlu diketahui bahwa persoalan yang dipikirkan eyang Newton ini telah ada sejak zaman yunani kuno. Ada dua persoalan dasar yang telah diselidiki oleh orang yunani, jauh sebelum eyang Newton lahir. Persoalan yang selalu dipertanyakan adalah mengapa benda-benda selalu jatuh ke permukaan bumi dan bagaimana gerakan planet-planet, termasuk matahari dan bulan (matahari dan bulan pada waktu itu digolongkan menjadi planet-planet). Orang-orang Yunani pada waktu itu melihat kedua persoalan di atas (benda yang jatuh dan gerakan planet) sebagai dua hal yang berbeda. Demikian hal itu berlanjut hingga zaman eyang Newton. Jadi apa yang dihasilkan oleh eyang dibangun di atas hasil karya orang-orang sebelum dirinya. Yang membedakan eyang Newton dan orang-orang sebelumnya adalah bahwa eyang memandang kedua persoalan dasar di atas (gerak jatuh benda dan gerakan planet) disebabkan oleh satu hal saja dan pasti mematuhi hukum yang sama. Pada abad ke-17, eyang menemukan bahwa ada interaksi yang sama yang menjadi penyebab jatuhnya buah apel dari pohon dan membuat planet tetap berada pada orbitnya ketika mengelilingi matahari. Demikian juga bulan, satu-satunya satelit alam kesayangan bumi tetap berada pada orbitnya.

Mari kita belajar hukum dasar cetusan eyang Newton yang kini diwariskan kepada kita. Hukum dasar inilah yang menentukan interaksi gravitasi. Ingat bahwa hukum ini bersifat universal alias umum; gravitasi bekerja dengan cara yang sama, baik antara diri kita dengan bumi, antara bumi dengan buah mangga yang lezat ketika jatuh, antara bumi dengan pesawat yang jatuh ;) , antara planet dengan satelit dan antara matahari dengan planet-planetnya dalam sistem tatasurya.

Oya lupa….

Tahukah anda, bahkan gagasan eyang Newton mengenai gravitasi pada mulanya dibantai habisan-habisan oleh banyak ilmuwan yang bertentangan dengan gagasannya ? Pada waktu itu, banyak ilmuwan yang mungkin saking kebingungan sulit menerima gagasan eyang Newton mengenai gaya gravitasi. Gaya gravitasi termasuk gaya tak sentuh, di mana bekerja antara dua benda yang berjauhan alias tidak ada kontak antara benda-benda tersebut. Gaya-gaya yang umumnya dikenal adalah gaya-gaya yang bekerja karena adanya kontak; gerobak sampah bergerak karena kita memberikan gaya dorong, bola bergerak karena ditendang, sedangkan gravitasi, bisa bekerja tanpa sentuhan ? aneh… eyang Newton mengatakan kepada mereka bahwa ketika apel jatuh, bumi memberikan gaya kepadanya sehingga apel tersebut jatuh, demikian juga bumi mempertahankan bulan tetap pada orbitnya dengan gaya gravitasi, meskipun tidak ada kontak dan letak bumi dan bulan berjauhan. Akhirnya, perlahan-lahan sambil bersungut-sungut mereka mulai merestui dan mendukung dengan penuh semangat Hukum Gravitasi yang dicetuskan oleh Eyang Newton :)

HUKUM GRAVITASI NEWTON

Sebelum mencetuskan Hukum Gravitasi Universal, eyang Newton telah melakukan perhitungan untuk menentukan besar gaya gravitasi yang diberikan bumi pada bulan sebagaimana besar gaya gravitasi bumi yang bekerja pada benda-benda di permukaan bumi. Sebagaimana yang kita ketahui, besar percepatan gravitasi di bumi adalah 9,8 m/s2. Jika gaya gravitasi bumi mempercepat benda di bumi dengan percepatan 9,8 m/s2, berapakah percepatan di bulan ? karena bulan bergerak melingkar beraturan (gerakan melingkar bulan hampir beraturan), maka percepatan sentripetal bulan dihitung menggunakan rumus percepatan sentripetal Gerak melingkar beraturan.

Diketahui orbit bulan yang hampir bulat mempunyai jari-jari sekitar 384.000 km dan periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu putaran) adalah 27,3 hari. Dengan demikian, percepatan bulan terhadap bumi adalah

Jadi percepatan gravitasi bulan terhadap bumi 3600 kali lebih kecil dibandingkan dengan percepatan gravitasi bumi terhadap benda-benda di permukaan bumi. Bulan berjarak 384.000 km dari bumi. Jarak bulan dengan bumi ini sama dengan 60 kali jari-jari bumi (jari-jari bumi = 6380 km). Jika jarak bulan dari bumi (60 kali jari-jari bumi) dikuadratkan, maka hasilnya sama dengan 3600 (60 x 60 = 602 = 3600). Angka 3600 yang diperoleh dengan mengkuadratkan 60 hasilnya sama dengan Percepatan bulan terhadap bumi, sebagaimana hasil yang diperoleh melalui perhitungan.

Berdasarkan perhitungan ini, eyang newton menyimpulkan bahwa besar gaya gravitasi yang diberikan oleh bumi pada setiap benda semakin berkurang terhadap kuadrat jaraknya (r) dari pusat bumi. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :

Selain faktor jarak, Eyang Newton juga menyadari bahwa gaya gravitasi juga bergantung pada massa benda. Pada Hukum III Newton kita belajar bahwa jika ada gaya aksi maka ada gaya reaksi. Ketika bumi memberikan gaya aksi berupa gaya gravitasi kepada benda lain, maka benda tersebut memberikan gaya reaksi yang sama besar tetapi berlawanan arah terhadap bumi. Karena besarnya gaya aksi dan reaksi sama, maka besar gaya gravitasi juga harus sebanding dengan massa dua benda yang berinteraksi. Berdasarkan penalaran ini, eyang Newton menyatakan hubungan antara massa dan gaya gravitasi. Secara matematis ditulis sbb :

MB adalah massa bumi, Mb adalah massa benda lain dan r adalah jarak antara pusat bumi dan pusat benda lain.

Setelah membuat penalaran mengenai hubungan antara besar gaya gravitasi dengan massa dan jarak, eyang Newton membuat penalaran baru berkaitan dengan gerakan planet yang selalu berada pada orbitnya ketika mengitari matahari. Eyang menyatakan bahwa jika planet-planet selalu berada pada orbitnya, maka pasti ada gaya gravitasi yang bekerja antara matahari dan planet serta gaya gravitasi antara planet, sehingga benda langit tersebut tetap berada pada orbitnya masing-masing. Luar biasa pemikiran eyang Newton ini. Tidak puas dengan penalarannya di atas, ia menyatakan bahwa jika gaya gravitasi bekerja antara bumi dan benda-benda di permukaan bumi, serta antara matahari dan planet-planet maka mengapa gaya gravitasi tidak bekerja pada semua benda ?

Akhirnya, setelah bertele-tele dan terseok-seok, kita tiba pada inti pembahasan panjang lebar ini. Eyang Newton pun mencetuskan Hukum Gravitasi Universal dan mengumumkannya pada tahun 1687, hukum yang sangat terkenal dan berlaku baik di indonesia, amerika atau afrika bahkan di seluruh penjuru alam semesta. Hukum gravitasi Universal itu berbunyi demikian :

Semua benda di alam semesta menarik semua benda lain dengan gaya sebanding dengan hasil kali massa benda-benda tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara benda-benda tersebut.

Secara matematis, besar gaya gravitasi antara partikel dapat ditulis sbb :

Fg adalah besar gaya gravitasi pada salah satu partikel, m1 dan m2 adalah massa kedua partikel, r adalah jarak antara kedua partikel.

G adalah konstanta universal yang diperoleh dari hasil pengukuran secara eksperimen. 100 tahun setelah eyang Newton mencetuskan hukum Gravitasi Universal, pada tahun 1978, Henry Cavendish berhasil mengukur gaya yang sangat kecil antara dua benda, mirip seperti dua bola. Melalui pengukuran tersebut, Henry membuktikan dengan sangat tepat persamaan Hukum Gravitasi Universal di atas. Perbaikan penting dibuat oleh Poyting dan Boys pada abad kesembilan belas. Nilai G yang diakui sekarang = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2

Contoh soal 1 :

Seorang guru fisika sedang duduk di depan kelas dan seorang murid sedang duduk di bagian belakang ruangan kelas. Massa guru tersebut adalah 60 kg dan massa siswa 70 kg (siswa gendut). Jika pusat mereka (yang dimakudkan di sini bukan pusat yang terletak di depan perut manusia) berjarak 10 meter, berapa besar gaya gravitasi yang diberikan oleh guru dan murid satu sama lain ?

Panduan jawaban :

Gampang, tinggal dimasukkan aja nilai-nilai telah diketahui ke dalam persamaan Hukum Newton tentang Gravitasi

Ya, gayanya sangat kecil…

Contoh soal 2 :

Diketahui massa bulan 7,35 x 1022 kg, massa bumi 5,98 x 1024 kg dan massa matahari adalah 1,99 x 1030 kg. Hitunglah gaya total di bulan yang disebabkan oleh gaya gravitasi bumi dan matahari. Anggap saja posisi bulan, bumi dan matahari membentuk segitiga siku-siku. Oya, jarak bumi-bulan 3,84 x 108 m dan jarak matahari-bulan 1,50 x 108 km (1,50 x 1011 m).

Keterangan Gambar :

b = bulan, B = bumi dan M = matahari

Panduan jawaban :

Gaya total yang bekerja pada bulan akibat gravitasi matahari dan bumi kita hitung menggunakan vektor. Sebelumnya, terlebih dahulu kita hitung besar gaya gravitasi antara bumi-bulan dan matahari-bulan.

Besar gaya gravitasi antara bumi-bulan :

Besar gaya gravitasi antara matahari-bulan.

Besar gaya total yang dialami bulan dapat dihitung sebagai berikut :

Gaya total yang dimaksud di sini tidak sama dengan gaya total pada Hukum II Newton. Hukum gravitasi berbeda dengan Hukum II Newton. Hukum Gravitasi menjelaskan gaya gravitasi dan besarnya yang selalu berbeda tergantung dari jarak dan massa benda yang terlibat. Hukum II Newton menghubungkan gaya total yang bekerja pada sebuah benda dengan massa dan percepatan benda tersebut. Dipahami ya perbedaannya….

Kuat Medan Gravitasi dan Percepatan Gravitasi

Pada pembahasan mengenai Hukum Newton tentang Gravitasi, kita telah meninjau gaya gravitasi sebagai interaksi gaya antara dua atau lebih partikel bermassa. Partikel-partikel tersebut dapat saling berinteraksi walaupun tidak bersentuhan. Pandangan lain mengenai gravitasi adalah konsep medan, di mana sebuah benda bermassa mengubah ruang di sekitarnya dan menimbulkan medan gravitasi. Medan ini bekerja pada semua partikel bermassa yang berada di dalam medan tersebut dengan menimbulkan gaya tarik gravitasi. Jika sebuah benda berada di dekat bumi, maka terdapat sebuah gaya yang dikerjakan pada benda tersebut. Gaya ini mempunyai besar dan arah di setiap titik pada ruang di sekitar bumi. Arahnya menuju pusat bumi dan besarnya adalah mg.

Jadi jika sebuah benda terletak di setiap titik di dekat bumi, maka pada benda tersebut bekerja sebuah vektor g yang sama dengan percepatan yang akan dialami apabila benda itu dilepaskan. Vektor g tersebut dinamakan kekuatan medan gravitasi. Secara matematis, besar g dinyatakan sebagai berikut :

Berdasarkan persamaan di atas, kita dapat mengatakan bahwa kekuatan medan gravitasi di setiap titik merupakan gaya gravitasi yang bekerja pada setiap satuan massa di titik tersebut.

Gravitasi di Sekitar Permukaan Bumi

Pada awal tulisan ini, kita telah mempelajari Hukum gravitasi Newton dan menurunkan persamaan gravitasi Universal. Sekarang kita mencoba menerapkannya pada gaya gravitasi antara bumi dan benda-benda yang terletak di permukaannya. Kita tulis kembali persamaan gravitasi universal untuk membantu kita dalam menganalisis :

Untuk persoalan gravitasi yang bekerja antara bumi dan benda-benda yang terletak di permukaan bumi, m1 pada persamaan di atas adalah massa bumi (mB), m2 adalah massa benda (m), dan r adalah jarak benda dari permukaan bumi, yang merupakan jari-jari bumi (rB). Gaya gravitasi yang bekerja pada bumi merupakan berat benda, mg. Dengan demikian, persamaan di atas kita ubah menjadi :

Berdasarkan persamaan ini, dapat diketahui bahwa percepatan gravitasi pada permukaan bumi alias g ditentukan oleh massa bumi (mB) dan jari-jari bumi (rB)

G dan g merupkan dua hal yang berbeda. g adalah percepatan gravitasi, sedangkan G adalah konstanta universal yang diperoleh dari hasil pengukuran. Setelah G ditemukan, manusia baru bisa mengetahui massa bumi lewat perhitungan menggunakan persamaan ini. Hal ini bisa dilakukan karena telah diketahui konstanta universal, percepatan gravitasi dan jari-jari bumi.

Ini adalah persamaan percepatan gravitasi efektiv. Jika ditanyakan percepatan gravitasi pada ketinggian tertentu di dekat permukaan bumi, maka kita dapat menggunakan persamaan ini. Jika kita menghitung berat benda yang terletak di permukaan bumi, kita menggunakan mg.

Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Sabtu, 20 Maret 2010

pengertian c++

C++ adalah sebuah bahasa pemrograman yang memiliki banyak dialek, seperti bahasa orang yang banyak memiliki dialek. Dalam C++, dialek bukan disebabkan oleh karena si pembicara berasal dari Jepang atau Indonesia, melainkan karena bahasa ini memiliki beberapa kompiler yang berbeda. Ada empat kompiler umum yaitu : C++ Borland, C++ Microsoft Visual, C/386 Watcom, dan DJGPP. Anda dapat mendownload DJGPP atau mungkin saja anda telah memiliki kompiler lain.

Setiap kompiler ini agak berbeda. Setiap kompiler akan dapat menjalankan fungsi fungsi standar C++ ANSI/ISO, tetapi masing masing kompiler juga akan dapat menjalankan fungsi fungsi nonstandard (fungsi fungsi ini, agak mirip dengan ucapan yang tidak standar yang diucapkan orang diberbagai pelosok negeri. Sebagai contoh, di New Orleans kata median disebut neutral ground). Kadang kadang pemakaian fungsi nonstandard akan menimbulkan masalah pada saat anda hendak mengkompilasi kode sumber data (source code) (yaitu program berbahasa C++ yang ditulis oleh seorang programer) mempergunakan kompiler yang berbeda. Tutorial ini tidak terlepas dari masalah seperti itu.

Bila anda belum mempunyai sebuah kompiler, disarankan agar anda segera memiliki sebuah kompiler. Sebuah kompiler sederhana sudah cukup untuk dipergunakan oleh anda dalam mengikuti tutorial ini.

Bahasa pemrograman C++ adalah bahasa yang amat berbeda. Untuk kompiler C++ berbasis DOS, akan memerlukan beberapa kata kunci (keywords); keyword sendiri tidak cukup untuk difungsikan sebagai input dan output. Walau hampir semua fungsi dalam file library tampaknya bias diakses oleh header filenya. Coba kita lihat program sesungguhnya :
#include
int main()
{
cout<<”HEY, you, I’m alive! Oh, and Hello World!”;
return 0;
}

Marilah kita lihat elemen dari program diatas. Tanda #include adalah sebuah prosesor pengarah yang mengatakan kepada kompiler untukmeletakan kode dari header file iostream.h kedalam program. Dengan menyertakan header file, anda dapat mengakses banyak fungsi fungsi berbeda. Dalam contoh diatas, fungsi cout memerlukan file iostream.h.

Pada baris berikutnya yang penting adalah int main(). Baris ini mengatakan kepada kompiler bahwa ada sebuah fungsi bernama main, yang mana fungsi itu mengembalikan sebuah integer, sehingga diberi tanda int. Tanda kurung ({ dan }) menandakan awal dan akhir fungsi dalam program diatas dan menghentikan kode lainnya. Jika anda memakai bahasa Pascal, anda akan mempergunakan perintah BEGIN dan END.

Baris berikutnya dari program diatas agak aneh. Jika anda menulis sebuah program mempergunakan bahasa lain, anda akan mengetahui bahwa perintah print akan menampilkan text di layar monitor. Dalam bahasa C++ tidaklah demikian, pemakaian fungsi cout dipakai untuk menampilkan text di layar monitor anda. Itu juga memakai tanda atau symbol <;<; , yang diketahui sebagai operator pemasukan ( insertion operators). Tanda tersebut mengatakan kepada kompiler agar segera menghasilkan output sesuai dengan input anda. Tanda semicolon ditambahkan kedalam bagian akhir dari semua fungsi yang dipanggil dalam bahasa C++; tanda seterusnya memperlihatkan variable yang anda deklarasikan.

Pada baris itu juga ada kode yang memerintahkan fungsi main kembali ke 0. Pada saat satu kali kembali diproses, itu dilakukan melalui system operasi. Sebagai catatan, pendeklarasian fungsi main yang tidak diinginkan memiliki proses kembali, dapa ditambahkan – void main() – dan biasanya itu berfungsi dengan baik; namun cara ini merupakan cara yang kurang baik.

Tanda kurung terakhir berperan sebagai penutup agar fungsi dihentikan. Anda bias mencobamengoperasikan fungsi ini didalam sebuah kompiler. Anda dapat melakukan cut dan paste kode diatas kedalam sebuah file, dan menyimpannya sebagai file.cpp, dan kemudian anda buka file itu dari dalam kompiler anda. Jika anda memakai baris perintah kompiler seperti yang ada dalam Borland C++ 5.5, sebaiknya anda membaca dahulu instruksi kompiler tentang bagaimana cara melakukan kompilasi (how to compile).

Comment atau komentar sering dipakai dalam penulisan program. Ketika anda mengatakan kepada kompiler bahwa sebuah bagian dari program anda adalah tex komentar, kompiler tidak akan memasukan itu sebagai perintah pemrograman. Untuk membua sebuah komentar dipergunakan tanda //, yang mengaakan kepada kompiler bahwa baris berikut adalah komentar, atau memakai tanda /* dan kemudian diakhiri tanda */ untuk menandai bahwa segala yang ada antara kedua tanda ini adalah komentar. Beberapa kompiler akan mengubah warna area komentar, tetapi beberapa kompiler lain tidak. Berhati hatilah dalam menulis program anda agar kode program anda tidak dianggap sebagai komentar oleh kompiler karena dapat mempengaruhi output program yang anda buat.

Selanjutnya anda harus dapa menuliskan program sederhana untuk menampilkan informasi yang anda ketikan kedalamnya. Selain itu, program juga bisa dibuat untuk menerima input. Fungsi yang dipakai adalah cin, dan diikuti dengan tanda >>.

Tentu saja sebelum anda mencoba menerima input, anda harus memiliki tempat penyimpan input. Dalam pemrograman, input dan data disimpan dalam variable. Ada beberapa jenis variable. Pada saat anda ingin mengatakan kepada kompiler sebuah variable yang anda deklarasikan, anda harus menyertakan tipe data dan nama dari variable itu. Beberapa cara dasar adalah dengan menuliskan include char, int, dan float.

Sebuah variabel char menyimpan sebuah karakter tunggal; variabel int akan menyimpan integer (bukan bilangan desimal), dan variables float akan menyimpan bilangan desimal. Setiap variable – char, int, dan float – merupakan sebuah kata kunci (keyword) yang and pergunakan pada saat anda mendeklarasikan sebuah variabel. Untuk mendeklarasikan sebuah variable anda memakai syntax type . Ini diijinkan untuk mendeklarasikan variable multiple dari jenis variable yang sama pada baris yang sama; masing masing variabelnya dipisahkan dengan tanda koma. Deklarasi sebuah variable atau sekelompok variabel dapat diikuti tanda semicolon (Catatan, tanda ini sama dengan yang diterapkan pada prosedur dimana anda akan memanggil sebuah fungsi).

Jika anda tidak memakai sebuah variable yang dideklarasikan sebelumnya. program anda tidak akan dapat dioperasikan (atau di run), dan anda akan menerima pesan error yang memberitahu anda bahwa anda telah melakukan kesalahan.

Berikut adalah beberapa contoh deklarasi variable:
int x;
int a, b, c, d;
char letter;
float the_float;

Walaupun anda boleh memiliki banyak variable dengan jenis yang sama, anda tidak dapat memiliki variable dengan nama yang sama. Begitu pula anda tidak dapat memiliki variable dan fungsi dengan nama yang sama.
#include <>
int
main()
{
int thisisanumber;
cout<<”Please enter a number:”;
cin>>thisisanumber;
cout<<”You entered: “<
return 0;
}

Coba kita bahas program diatas ini setiap barisnya. Keyword int mendeklarasikan thisisanumber menjadi sebuah bilangan integer. Fungsi cin>> membaca sebuah nilai ke dalam thisisanumber; user harus menekan tombol enter sebelum bilangan bias dibaca oleh program. Ingatlah, bahwa variable yang telah dideklarasikan adalah sebuah integer; jika user cenderung nmenulis bilangan decimal, itu akan diproses dengan tidak tepat (sebab komponen desimal dari bilangan itu akan ditolek). Cobalah menuliskan satu baris karakter atau bilangan desimal ketika anda mengoperasikan program diatas; hasil yang didapat bervariasi dari input ke input, tetapi bila tidak ada masalah akan tampak bagus. Ingatlah ketika mencetak sebuah variabel, tanda quotation tidak dipakai. Apabila ada tanda quotation, maka hasilnya adalah “You Entered: thisisanumber.”

Apabila tanda quotation dihilangkan, maka kompiler akan menganggap itu sebuah variabel, dan karena itu program akan melakukan pengecekan atas nilai variabel agar dapat mengganti nama variabel dengan variable pada saat eksekusi fungsi output. Jangan bimbang dengan adanya dua operator pemasukan dalam satu baris program. Anda bisa juga memasukan beberapa operator pemasuka dalam satu baris selama tiap operator pemasukan menghasilkan output yang berbeda; anda perlu memisahkan literal string (yaitu string yang tertutup dalam tanda quotation) dan variabel dengan menaruh masing masing operator pemasukannya (each insertion operators) (yaitu tanda <<).

Bila anda hendak mencoba untuk meletakan dua variabel bersama sama dalam satu baris program seperti tanda <;<; hasilnya adalah pesan eror; maka janganlah melakukan itu.

Jangan lupa untuk mengakhiri fungsi fungsi dan deklarasi dengan sebuah tanda semicolon. Jika anda lupa memberi tanda semicolon, kompiler akan memberi anda sebuah pesan eror pada saat anda melakukan kompilasi program anda.

Diposting oleh di Tidak ada komentar:

akuntansi dasar

Dasar-dasar Akuntansi

BAB I PENDAHULUAN

  1. Definisi akuntansi Akuntansi merupakan aktivitas jasa yang berfungsi memberikan informasi kuantitatif mengenai kesatuan-kesatuan ekonomi terutama yang bersifat keuangan yang bermanfaat dalam pengambilan keputusan. Menurut fungsi dan kegunaan Menurut kegiatannya Akuntansi adalah seni mencatat, mengklasifikasi dan mengikhtisarkan transaksi-transaksi / kejadian yang sekurang-kurangnya atau sebagaian bersifat keuangan dengan cara menginterpretasikan hasil-hasilnya
  2. Definisi akuntansi Akuntansi merupakan aktivitas jasa yang berfungsi memberikan informasi kuantitatif mengenai kesatuan-kesatuan ekonomi terutama yang bersifat keuangan yang bermanfaat dalam pengambilan keputusan. Menurut fungsi dan kegunaan Menurut kegiatannya Akuntansi adalah seni mencatat, mengklasifikasi dan mengikhtisarkan transaksi-ttransaksi kejadian yang sekurang-kurangnya atau sebagaian bersifat keuangan dengan cara menginterpretasikan hasil-hasilnya
  3. Pembagian Akuntansi Akuntansi Manajemen Akuntansi Keuangan Adalah cabang akuntansi yang menghasilkan laporan keuangan bagi pihak ekstern seperti investor, kreditor, dan Bapepam Adalah cabang akuntansi yang menghasilkan laporan keuangan bagi pihak intern organisasi atau manajemen Akuntansi Pemerintah Adalah cabang akuntansi memproses transaksi-transaksi keuangan pemerintah yang menghasilkan laporan keuangan sebagai bentuk pertanggungjawaban pelaksanaan APBN/APBD kepada rakyat melalui lembaga legislatif serta untuk kepentingan pihak-pihak yang terkait.
  4. SIKLUS AKUNTANSI Bukti Transaksi Jurnal Buku Besar Neraca Saldo Jurnal Penutup Jurnal Penyesuaian Laporan Keuangan
  5. Konsep entitas terpisah Perusahaan dianggap terpisah dengan pemiliknya
  6. Konsep Entitas Salon Eliza 10.000.000 Harta Salon = Rp.10.000.000 Kepentingan Eliza = Rp.10.000.000 Harta = Kepentingan pemilik 10.000.000 = 10.000.000 Eliza
  7. Konsep Entitas Salon Eliza Kreditor 10.000.000 Harta Salon = Rp.10.000.000 Kepentingan Eliza = Rp.10.000.000 Harta = Kepentingan pemilik 10.000.000 = 10.000.000 1.000.000 Harta = Kreditor Kepentingan pemilik + 11.000.000 = 1.000.000 10.000.000 + Eliza
  8. PERSAMAAN AKUNTANSI AKTIVA = HUTANG + MODAL
  9. UNSUR PERSAMAAN AKUNTANSI AKTIVA HUTANG MODAL harta yang dimiliki perusahaan yang merupakan sumber konomi. Contoh: kas, piutang, gedung dsb kewajiban yang menjadi beban perusahaan. Contoh: hutang pembelian kredit hak atau klaim pemilik atas aktiva perusahaan. Contoh: Setoran modal oleh pemilik
  10. PENGARUH TRANSAKSI TERHADAP PERSAMAAN AKUNTANSI SETIAP TRANSAKSI BERPENGARUH KE PERSAMAAN AKUNTANSI
  11. Suatu perusahaan membeli sebuah kendaraan seharga Rp. 100.000.000,- secara tunai APA PENGARUHNYA ? 1. Kas perusahaan berkurang sebesar Rp. 100.000.000,- 2. Kendaraan bertambah senilai Rp. 100.000.000,-
  12. Suatu perusahaan membeli mesin foto kopi seharga Rp.50.000.000,- secara kredit APA PENGARUHNYA ? 1. Peralatan bertambah senilai Rp. 50.000.000,- 2. Hutang bertambah senilai Rp. 50.000.000,-
  13. 2 slide berikut mengasumsikan Penjualan kendaraan dengan harga jual yang sama dengan nilai bukunya
  14. Suatu perusahaan menjual kendaraan seharga Rp.80.000.000,- secara tunai APA PENGARUHNYA ? 1. Kas bertambah senilai Rp. 80.000.000,- 2. Kendaraan berkurang senilai Rp. 80.000.000,-
  15. Suatu perusahaan menjual kendaraan seharga Rp.150.000.000,- secara kredit APA PENGARUHNYA ? 1. Piutang bertambah senilai Rp. 150.000.000,- 2. Kendaraan berkurang senilai Rp. 150.000.000,-
  16. Suatu perusahaan membeli sebuah mesin secara kredit seharga Rp. 200.000.000,- APA PENGARUHNYA ? 1. Hutang bertambah senilai Rp. 200.000.000,- 2. Peralatan bertambah senilai Rp. 200.000.000,-
  17. Suatu perusahaan membayar hutang sebesar Rp.50.000.000,- APA PENGARUHNYA ? 1. Hutang berkurang senilai Rp. 50.000.000,- 2. Kas berkurang senilai Rp. 50.000.000,-
  18. Mr. X melakukan penyetoran sebesar Rp. 75.000.000,- ke kas perusahaan sebagai tambahan modal APA PENGARUHNYA ? 1. Modal bertambah senilai Rp. 75.000.000,- 2. Kas bertambah senilai Rp. 75.000.000,-
  19. Mr. T melakukan penarikan uang perusahaan untuk keperluan pribadi sebesar Rp. 25.000.000,- APA PENGARUHNYA ? 1. Modal berkurang senilai Rp. 25.000.000,- 2. Kas berkurang senilai Rp. 25.000.000,-
  20. Latihan 1
  21. Pembelian aktiva tetap secara tunai senilai Rp. 2.000.000,- APA PENGARUHNYA ? 1. Aktiva tetap bertambah senilai Rp. 2.000.000,- 2. Kas berkurang senilai Rp. 2.000.000,-
  22. Penerimaan kas atas piutang perusahaan senilai Rp. 200.000,- APA PENGARUHNYA ? 1. Kas bertambah senilai Rp. 200.000,- 2. Piutang berkurang senilai Rp. 200.000,-
  23. Latihan 2
  24. Pembelian aktiva tetap secara kredit senilai Rp. 4.000.000,- APA PENGARUHNYA ? 1. Aktiva tetap bertambah senilai Rp. 4.000.000,- 2. Hutang bertambah Rp. 4.000.000,-
  25. Pembayaran hutang senilai Rp. 100.000,- APA PENGARUHNYA ? 1. Hutang berkurang senilai Rp. 100.000,- 2. Kas berkurang Rp. 100.000,-
  26. Latihan 3
  27. Penambahan investasi oleh pemilik sbesar Rp.3.000.000,- APA PENGARUHNYA ? 1. Kas bertambah senilai Rp. 3.000.000,- 2. Modal bertambah Rp. 3.000.000,-
  28. Pengambilan (Penarikan kas ) untuk pribadi pemilik sebesar Rp.300.000,- APA PENGARUHNYA ? 1. Modal berkurang senilai Rp. 300.000,- 2. Kas berkurang Rp. 300.000,-
  29. BASIS AKUNTANSI menyatakan saat pengakuan atas transaksi yang merupakan dasar pencatatan transaksi tersebut
  30. Basis akuntansi Suatu transaksi yang diakui dan dicatat berdasarkan saat kas diterima dan dikeluarkan Basis Kas Basis akrual Suatu transaksi diakui dan dicatat berdasarkan pengaruh transaksi pada saat kejadian dan dicatat serta dilaporkan pada periode yang bersangkutan
  31. Latihan 4
  32. Hotel SEPITRUS pada tanggal 2 Agustus 2002 menerima pembayaran dimuka sewa kamar dari seorang tamu hotel sebesar Rp. 1.000.000,- untuk sewa kamar selama 4 hari Bagaimana mencatat dengan dasar kas 1. Kas bertambah senilai Rp. 1.000.000,- 2. Pendapatan bertambah Rp. 1.000.000,-
  33. Hotel SEPITRUS pada tanggal 30 Desember 2002 menerima pembayaran dimuka sewa kamar dari seorang tamu hotel sebesar Rp. 1.000.000,- untuk sewa kamar selama 4 hari Bagaimana mencatat dengan dasar akrual 1. Kas bertambah senilai Rp. 1.000.000,- 2. Pendapatan diterima dimuka bertambah Rp. 1.000.000,-
  34. Latihan 5
  35. Pada tanggal 1 Januari 2000 telah dilakukan pembayaran biaya iklan untuk periode 24 bulan sebesar Rp. 24.000.000,- Bagaimana mencatat dengan dasar kas 1. Biaya iklan bertambah senilai Rp. 24.000.000,- 2. Kas berkurang Rp. 24.000.000,-
  36. Pada tanggal 1 Januari 2000 telah dilakukan pembayaran biaya iklan untuk periode 24 bulan sebesar Rp. 24.000.000,- Bagaimana mencatat dengan dasar akrual 1. Biaya iklan dibayar dimuka bertambah senilai Rp.24.000.000,- 2. Kas berkurang Rp. 24.000.000,-
  37. BAB II REKENING/PERKIRAAN
  38. Apa REKENING/PERKIRAAN ? Adalah suatu media untuk mengklasifikasikan dan mencatat penambahan dan pengurangan dari tiap unsur-unsur laporan keuangan.
  39. PERKIRAAN Buku Besar PERKIRAAN BUKU BESAR Nama Lain Account Akun Rekening
  40. Wujudnya seperti apa? Kas Tgl Keterangan Ref Jumlah Tgl Keterangan Ref Jumlah 500
  41. Bentuk Lain Kas 1,000 200 5,000
  42. Bentuk Lain Kas 1,000 200 5,000
  43. Bagaimana menggunakannya ?
  44. Saldo harta , u tang dan modal dicatat mengikuti Persamaan Dasar 11.500 2.000 1.000 12.500 Saldo Harta = Utang + Modal Kiri Kanan Kas Saldo 11.500 Utang Saldo 1.000 Transaksi Harta = Utang + Modal Kas Piutang Utang Modal
  45. Harta = Utang + Modal Harta (Kas) Saldo 11,500 Hutang Saldo 1,000 Modal Saldo 12,500 Saldo Harta diletakkan pada sisi kiri sesuai letak harta di persamaan akuntansi Saldo Hutang diletakkan pada sisi kanan sesuai letak hutang di persamaan akuntansi Saldo Modal diletakkan pada sisi kanan sesuai letak modal di persamaan akuntansi
  46. Bagaimana dengan Pendapatan, Biaya dan Prive Pendapatan Menambah modal Modal Saldo 12,500 Pendapatan Saldo xxxx Biaya Mengurangi modal Biaya Saldo xxxx Prive Mengurangi modal Prive Saldo xxxx
  47. Bagaimana jika ada transaksi Transaksi dapat mempengaruhi saldo harta, hutang, modal, pendapatan, biaya serta prive yang dicatat pada masing-masing rekening
  48. Pencatatan di Rekening harta Harta (Kas) Saldo 11.500 Penambahan 1,000 Penambahan diletakkan pada sisi yang sama dengan letak saldo normalnya Penambahan harta dicatat di sisi kiri (debit) Pengurangan harta dicatat disisi kanan ( kredit) Pengurangan 500
  49. Pencatatan di Rekening hutang Hutang Saldo 11.500 Penambahan 1,000 Penambahan hutang diletakkan pada sisi yang sama dengan letak saldo normalnya Penambahan hutang dicatat di sisi kanan (kredit) Pengurangan hutang dicatat disisi kiri ( debit) Pengurangan 500
  50. Pencatatan di Rekening Modal Modal Saldo 11.500 Penambahan 1,000 Penambahan Modal diletakkan pada sisi yang sama dengan letak saldo normalnya Penambahan Modal dicatat di sisi kanan (kredit) Pengurangan Modal dicatat disisi kiri ( debit) Pengurangan 500
  51. Kesimpulan Mencatat di sisi debit belum tentu merupakan penambahan Mencatat di sisi kredit belum tentu merupakan pengurangan Mencatat di sisi debit rekening disebut Pendebetan Mencatat di sisi kredit rekening disebut Pengkreditan
  52. Pedoman penggunaan akun Harta Kiri Kiri Kanan Utang Kanan Kanan Kiri Modal Kanan Kanan Kiri Pendapatan Kanan Kanan Kiri Beban/Biaya Kiri Kiri Kanan Prive Kiri Kiri Kanan No Jenis Akun Saldo Normal Penambahan Pengurangan 1 2 3 4 5 6
  53. Pedoman penggunaan akun Harta Debit Debit Kredit Utang Kredit Kredit Debit Modal Pendapatan Beban/Biaya Prive Debit Debit Kredit Debit Debit Kredit Kredit Kredit Debit Kredit Kredit Debit No Jenis Akun Saldo Normal Penambahan Pengurangan 1 2 3 4 5 6
  54. Latihan 6
  55. Pembelian aktiva tetap dengan tunai sebesar Rp. 500.000,- 1. Aktiva tetap bertambah Rp.500.000 Debit 1. Kas berkurang Rp.500.000 Kredit
  56. BAB II REKENING/PERKIRAAN
  57. Perkiraan/Rekening Real/Permanen Nominal Rekening-rekening yang terdapat dalam Neraca yaitu Aktiva, Hutang dan Modal. rekening-rekening yang terdapat dalam peerhitungan Rugi Laba yaitu rekening Pendapatan dan rekening Beban
  58. Latihan 7
  59. Nama Rekening Rekening Nominal Rekening Real/Permanen Penjualan Penjualan Kas Kas Hutang Sewa Hutang Sewa Beban iklan Beban iklan Modal Modal Piutang dagang Piutang dagang
  60. BAGAN REKENING/PERKIRAAN Merupakan daftar lengkap dari rekening-rekening yang dipakai oleh suatu perusahaan dengan penggolongan tertentu menurut unsur laporan keuangan
  61. PT ABC BAGAN REKENING N0MOR NAMA REKENING 1 Aktiva 1.1 Aktiva lancar 1.1.1 Kas 1.1.2 Piutang 1.1.3 Persediaan 1.2 Aktiva tidak lancar 1.2.1 Aktiva tetap 1.2.2 Akumulasi Penyusutan 1.2.3 Investasi 1.2.4 Aktiva lain-lain
  62. PT ABC BAGAN REKENING N0MOR NAMA REKENING 2 Hutang 2.1 Hutang lancar 2.1.1 Hutang gaji 2.1.2 Hutang operasional lainnya 2.2 Hutang tidak lancar 2.2.1 Hutang Bank 2.2.2 Hutang obligasi 3 Ekuitas 3.1 Modal disetor
  63. Pencatatan di Bukti transaksi dilakukan untuk tiap transaksi dan setiap transaksi dicatat serinci mungkin yang menampung semua informasi yang perlu sekurang-kurangnya memuat data mengenai jumlah nilai uang yang tercakup dalam transaksi, tanggal terjadinya transaksi, dan pihak yang terlibat di dalamnya
  64. PT. Cianjur Permai Jl. Tanpa Nama No. 1 Cianjur FAKTUR/Invoice Cianjur, 2 Des 2004
  1. Syarat pembayaran Syarat penyerahan Lembaga Pendidikan ABC O01/2/2004 2 Des 2004 05/ABC/2004 2/10,n30, FOB destination Pos 20 Buku Pengantar Akuntansi 20 Rp.10.000 Rp.200.000 Rabat 20 % xRp.200.000 Rp. 40.000 Rp.160.000 Dijual kepada : No : Faktur : Tanggal : Pesanan Saudara Nomor : Syarat : Dikirim dengan : Kuantitas dipesan Uraian Kuantitas dikirim Harga Satuan Jumlah
  2. BAB III JURNAL
  3. Fungsi Jurnal Fungsi Analisis Fungsi Pencatatan Fungsi Historis menentukan perkiraan yang di debet dan perkiraan yang dikredit serta jumlahnya masing-masing. mencatat transaksi keuangan dalam kolom debet dan kredit serta keterangan yang perlu mencatat aktivitas perusahaan secara kronologis
  4. JURNAL catatan sistematis dan kronologis dari transaksi-transaksi keuangan dengan menyebutkan rekening yang akan didebet atau dikredit disertai jumlahnya masing-masing dan referensinya
  5. BENTUK JURNAL Tanggal Rekening/Keterangan Ref Debit Kredit
  6. Pada tanggal 1 Januari 2002 Tuan Raka menyetorkan uang ke PT Aji Mumpung sebesar Rp. 500.000.000,- sebagai setoran modal Kas Modal , Tn Raka Kas bertambah Rp.500.000.000 Modal bertambah Rp.500.000.000 500.000.000 500.000.000 Kas 500.000.000 Modal , Tn Raka 500.000.000 Tgl Account Ref Debit Kredit
  7. Pada tanggal 5 Januari 2002 perusahaan membeli sebuah mobil seharga Rp. 150.000.000,- serta tunai Kendaraan Kas Kendaraan bertambah Rp.150.000.000 Kas berkurang Rp.150.000.000 150.000.000 150.000.000 K endaraan 150.000.000 Kas 150.000.000 Tgl Account Ref Debit Kredit
  8. Pada tanggal 6 Januari 2002 membeli mesin fotokopi seharga Rp.50.000.000,- secara kredit Peralatan Hutang Dagang Peralatan bertambah Rp.50.000.000 Hutang bertambah Rp.50.000.000 50.000.000 50.000.000 Peralatan 50.000.000 Hutang dagang 50.000.000 Tgl Account Ref Debit Kredit
  9. Pada tanggal 15 Januari 2002 dibayar beban telepon sebesar Rp.1.000.000 Beban telepon Kas Biaya telepon bertambah Rp.1.000.000 Kas berkurang Rp.1.000.000 1.000.000 1.000.000 Beban telepon 1.000.000 Kas 1.000.000 Tgl Account Ref Debit Kredit
  10. Pada tanggal 18 Januari 2002 diterima pendapatan dari jasa foto kopi sebesar Rp. 8.000.000,- Kas Pendapatan Kas bertambah Rp.8.000.000 Pendapatan bertambah Rp.8.000.000 8.000.000 1.000.000 Kas 8.000.000 Pendapatan 8.000.000 Tgl Account Ref Debit Kredit
  11. Pada tanggal 26 Januari 2002 dibayar asuransi sebesar Rp. 750.000,- Beban asuransi Kas Terjadi biaya asuransi Rp.750.000 Kas berkurang Rp.750.000 750.000 750.000 Beban asuransi 750.000 Kas 750.000 Tgl Account Ref Debit Kredit
  12. Pada tanggal 21 Januari 2002 perusahaan telah menyelesaikan jasa foto kopi sebesar Rp.5.000.000,- tetapi uangnya belum diterima Piutang Pendapatan Piutang / tagihan bertambah Rp.5.000.000 Pendapatan bertambah Rp.5.000.000 5.000.000 5.000.000 Piutang 5.000.000 Pendapatan 5.000.000 Tgl Account Ref Debit Kredit
  13. Bab IV Buku Besar
  14. Buku Besar Buku yang berisi semua rekening-rekening (kumpulan rekening) yang ada dalam laporan keuangan
  15. BUKU BESAR (LEDGER) Beban gaji Pendapatan Prive Modal Utang Peralatan Perlengkapan Piutang Kas BUKU BESAR
  16. Posting Ke Buku Besar JURNAL UMUM Halaman 1 Kas No. 111 2 3 1 4 5 Jan 1 500.000.000 JU-1 111 Tgl Account Ref Debit Kredit Jan 1 Kas 500.000.000 Modal, Tn Raka 500.000.000 Tgl Keterangan Ref Jumlah Tgl Keterangan Ref Jumlah
  17. Posting Ke Buku Besar JURNAL UMUM Halaman 1 Modal, Tn Raka No. 3 11 2 3 1 4 5 Jan 1 500.000.000 JU-1 3 11 Tgl Account Ref Debit Kredit Jan 1 Kas 111 500.000.000 Modal, Tn Raka 500.000.000 Tgl Keterangan Ref Jumlah Tgl Keterangan Ref Jumlah
  18. Dan seterusnya
  19. Bab V Neraca Saldo
  20. Neraca Saldo Daftar yang berisi kumpulan seluruh rekening/perkiraan Buku Besar
  21. Kapan Neraca Saldo dibuat ? Pada akhir periode atau dapat juga disiapkan kapan saja untuk memastikan keseimbangan Buku Besar. Untuk menyiapkan Neraca Saldo, saldo tiap perkiraan harus ditentukan terlebih dahulu.
  22. Fungsi Neraca Saldo Untuk memastikan bahwa Buku Besar secara matematis adalah akurat dengan pengertian bahwa jumlah saldo-saldo debet selalu sama dengan saldo-saldo kredit Namun jika neraca saldo sudah seimbang bukan berarti catatan-catatan akuntansi benar-benar akurat
  23. Bentuk Neraca Saldo No.Perk Nama Perkiraan Debit Kredit
  24. Contoh Neraca Saldo Nama Perkiraan No.Perk Debit Kredit Kas 356.250.000 Piutang 5.000.000 Kendaraan 150.000.000 Peralatan 50.000.000 Hutang 50.000.000 Modal 500.000.000 Pendapatan 13.000.000 Beban telepon 1.000.000 Beban asuransi 750.000 563.000.000 563.000.000 ================================
  25. Bab VI Pencatatan Beban dan Pendapatan
  26. Pencatatan Biaya dibayar di muka Pembayaran yang pada saat dibayar, belum seluruh manfaat pembayaran tersebut dirasakan oleh perusahaan Pada tanggal 1 Oktober 2002, perusahaan membayar sewa ruangan untuk masa 1 Oktober 2002 s.d. 30 September 2003 sebesar Rp.1.200.000,00
  27. Pada tanggal 1 Oktober 2002, perusahaan membayar sewa ruangan untuk masa 1 Oktober 2002 s.d. 30 September 2003 sebesar Rp.1.200.000,00. 1/10/02 1. Timbul sewa dibayar dimuka Rp.1.200.000 2. Kas berkurang Rp.1.200.000,00 Sewa dibayar dimuka 1.200.000 Kas 1.200.000 Tanggal Rekening Buku Besar Debit Kredit 2002 Oktober 1
  28. Sewa dibayar dimuka Beban Sewa 1.200.000 300.000 1/10/02 30/09/03 31/12/02 Telah digunakan 3 bulan 1. Timbul Beban Sewa Rp.300.000, 2. Sewa dibayar dimuka berkurang Rp.300.000 AJP : Beban Sewa 300.000 - Sewa dibayar dimuka - 300.000 Debit Kredit 300.000
  29. Pendekatan Biaya/Beban Pembayaran biaya yang menfaatnya untuk tahun ini saja
  30. Pada tanggal 1 Oktober 2002, perusahaan membayar sewa ruangan untuk masa 1 Oktober 2002 s.d. 31 Desember 2002 sebesar Rp.300.000,00. Beban Sewa 300.000 Kas 300.000 Beban Sewa 300.000 Sampai dengan 31 Desember 2002 Pengeluaran ini sudah seluruhnya dikonsumsi dan Beban sewa 300.000 dilaporkan di laporan laba rugi Tanggal Rekening Buku Besar Debit Kredit 2002 Oktober 1
  31. Pendekatan Biaya/Beban Pembayaran biaya yang manfaatnya untuk tahun ini dan tahun berikutnya Pada tanggal 1 Oktober 2002, perusahaan membayar sewa ruangan untuk masa 1 Oktober 2002 s.d. 30 September 2003 sebesar Rp.1.200.000,00.
  32. Pada tanggal 1 Oktober 2002, perusahaan membayar sewa ruangan untuk masa 1 Oktober 2002 s.d. 30 September 2003 sebesar Rp.1.200.000,00. Beban Sewa 1.200.000 Kas 1.200.000 Beban Sewa 1.200.000 Tanggal Rekening Buku Besar Debit Kredit 2002 Oktober 1
  33. Beban Sewa Sewa dibayar dimuka 1.200.000 900.000 1/10/02 30/09/03 31/12/02 Belum digunakan 9 bulan Terdapat Sewa dibayar dimuka Rp.900.000 AJP : Sewa dibayar dimuka 900.000 - Beban Sewa - 900.000 Debit Kredit 900.000
  34. Pencatatan Pendapatan diterima di muka Penerimaan uang yang pada saat diterima, belum seluruh jasa/barang diserahkan oleh perusahaan pada tanggal 1 Desember 2002 menjual tiket pesawat dengan total harga Rp.15.000.000,00. Saat itu penumpang belum diberangkatkan
  35. 1/12/02 1. Kas bertambah Rp.15.000.000 2. Timbul kewajiban untuk mengantar penumpangRp.15.000.000 Kas 15.000.000 Pendapatan diterima dimuka 15.000.000 Pada tanggal 1 Desember 2002 menjual tiket pesawat dengan total harga Rp.15.000.000,00. Saat itu penumpang belum diberangkatkan. Sd 31-12-2002 diberangkatkan Rp.9.000.000 Tanggal Rekening Buku Besar Debit Kredit 2002 Des 1
  36. 1/12/02 Pendapatan diterima dimuka 9.000.000 Pendapatan tiket 9.000.000 31/12/02 Sudah melayani penum pang Rp.9.000.000
    • Sudah timbul pendapatan Rp9.000.000
    • Pendapatan diterima dimuka berkurang Rp9.000.000
    Pendapatan diterima dimuka 15.000.000 Pendapatan tiket 9.000.000 9.000.000 Tanggal Rekening Buku Besar Debit Kredit 2002 Des 31
  37. 1/12/02 1. Kas bertambah Rp.15.000.000 2. Timbul Pendapatan tiket Rp.15.000.000 Kas 15.000.000 Pendapatan tiket 15.000.000 Pada tanggal 1 Desember 2002 menjual tiket pesawat dengan total harga Rp.15.000.000,00. Saat itu penumpang belum diberangkatkan. Sd 31-12-2002 diberangkatkan Rp.9.000.000 Tanggal Rekening Buku Besar Debit Kredit 2002 Des 1
  38. 1/12/02 Pendapatan tiket 6.000.000 Pendapatan diterima dimuka 6.000.000 31/12/02 Baru melayani penum pang Rp.9.000.000
    • Ada pendapatan diterima dimuka belum dicatat Rp6.000.000
    • Pendapatan dikurangi karena terlalu besar Rp6.000.000
    Pendapatan tiket 15.000.000 Pendapatan diterima dimuka 6.000.000 6.000.000 9.000.000 6.000.000 Tanggal Rekening Buku Besar Debit Kredit 2002 Des 1
  39. Bab VII Jurnal Penyesuaian
  40. Jurnal Penyesuaian Adalah jurnal yang dibuat untuk menyesuaikan saldo rekening-rekening ke saldo yang sebenarnya sampai dengan periode akuntansi, atau untuk memisahkan antara pendapatan dan beban dari suatu periode dengan periode yang lain
  41. Penyesuaian antara lain meliputi 1. Penyusutan/depresiasi aset tetap 2. Beban dibayar di muka 3. Beban yang masih harus dibayar 4. Pendapatan diterima di muka 5. Piutang Pendapatan
  42. MENGGUNAKAN AKTIVA TETAP Apa itu aktiva tetap ? AKTIVA TETAP = HARTA YANG DIPEROLEH UNTUK DIGUNAKAN DALAM OPERASIONAL DAN DAPAT DIGUNAKAN BERULANG-ULANG SERTA UMURNYA LEBIH DARI SATU TAHUN
  43. JIKA AKTIVA DAPAT DIGUNAKAN LEBIH DARI SETAHUN AKTIVA TERSEBUT DAPAT DIGUNAKAN UNTUK MEMPEROLEH PENDAPATAN LEBIH DARI SETAHUN HARGA BELINYA DILAPORKAN SEBAGAI BIAYA UNTUK BEBERAPA TAHUN
  44. 1 Januari 2002 membeli mobil dengan harga Rp.90.000.000, umur mobil ditaksir 10 tahun Umur = 10 tahun 1/1/2002 1/1/2003 1/1/2004 1/1/2005 1/1/2006 1/1/2007 9.000.000 9.000.,000 9.000.000 9.000.,000 9.000.,000 Dst.
  45. Menyusutkan aktiva tetap Mengalokasikan cost aktiva tetap sebagai beban pada tahun-tahun penggunaan 1/1 2002 dibeli Cost = 90.000.000 Umur = 10 tahun 1/1/2002 1/1/2003 1/1/2004 1/1/2005 1/1/2006 1/1/2007 9.000000 9.000.000 9.000.000 9.000.000 9.000.000 dst
  46. Sebuah mobil seharga Rp 90.000.000,- diperkirakan umur ekonomisnya adalah 10 tahun, disusutkan menggunakan metode garis lurus. Penyusutan per tahun = Penyusutan per tahun = Rp.90.000.000 Beban penyusutan 9.000.000 Akumulasi penyusutan 9.000.000 Pengaruhnya ? 10 = Rp.9.000.000 1. Terjadi biaya penyusutan 9.000.000 2. Jumlah penyusutan yang pernah dilakukan bertambah Rp. 9.000.000 Tgl Account Ref Debit Kredit Des 31
  47. Dari asuransi yang dibayar Rp.750.000 seperti pada bab IV, yang sudah menjadi beban tahun ini (2002) Rp.250.000 sementara itu sisanya merupakan pembayaran untuk tahun 2003 dan 2004 Terdapat asuransi dibayar dimuka Rp.500.000 Rekening Beban asuransi terlalu tinggi dicatat Rp.500.000 Asuransi dibayar dimuka 500.000 Beban asuransi 500.000 Tgl Account Ref Debit Kredit Des 31
  48. Gaji bulan Desember sampai dengan tanggal 31 Desember sebesar Rp 2.000.000 belum dibayar Sudah timbul beban/biaya gaji Rp 2.000.000 Timbul utang gaji Rp 2.000.000 Beban Gaji 2.000.000 Utang Gaji 2.000.000 Tgl Account Ref Debit Kredit Des 31
  49. Dari penerimaan pendapatan pada bab IV, ternyata per 31 Desember 2002 perusahaan hotel telah menerima pembayaran terlebih dahulu dari tamu hotel sebesar Rp 750.000 untuk 5 hari di tahun 2003 Pendapatan yang sudah dicatat terlalu besar Rp.750.000 Terdapat pendapatan diterima dimuka Rp.750.000 Pendapatan 750.000 Pendapatan diterima dimuka 750.000 Tgl Account Ref Debit Kredit Des 31
  50. Tanggal 31 Desember 2002 sebuah hotel belum menerima pembayaran sewa kamar sebesar Rp 500.000; karena pembayaran baru dilakukan pada saat check out Sudah timbul Piutang pendapatan sewa kamar Rp.500.000 Sudah timbul pendapatan sewa kamar Rp.500.000 Piutang pendapatan 500.000 Pendapatan 500.000 Tgl Account Ref Debit Kredit Des 31
  51. Bab VIII
  52. WORKSHEET/NERACA LAJUR Kertas berkolom yang digunakan sebagai alat bantu penyelesaian pekerjaan akhir tahun Apa ? Kegiatan akhir Tahun Pekerjaan akhir tahun banyak dan rumit, maka perlu alat bantu seperti work sheet Terbantu dengan membuat worksheet terlebih dahulu
    • Menyesuaian Buku Besar
    • Menyusun Neraca Saldo
    • Menyusun Laporan Keuangan
    • Menutup Buku Besar
  53. Kas Piutang dagang Kendaraan Peralatan Hutang dagang Modal 356.250 5,000 150,000 500,000 13,000 50,000 750 50,000 Pendapatan Beban telepon Beban asuransi 1,000 Neraca Lajur Per 31 Desember 2001 Kas 256,250 Piutang dagang 5,000 Kendaraan 150,000 Peralatan 50.000 Hutang dagang 50.000 Modal 500,000 Pendapatan 13,000 Beban Telepon 1,000 Beban Asuransi 750 Account N. S AJP NSP R/L LM Neraca D K D K D K D K D K D K
  54. Selanjutnya kembangkan sendiri
    • Karena jumlah digit di neraca lajur modul panjang maka sulit dimasukkan dalam worksheet power point walaupun fontnya diperkecil
  55. Neraca Lajur Per 31 Desember 2001 Kas 1,500 Piutang 2,500 Perlengkapan 500 Gedung 10.000 Ak. Penyusutan 1.000 Utang 100 Modal 7.700 Prive 200 Pendapatan 7,000 Beban Gaji 1,000 Beban lain-lain 100 15,800 15,800 a.100 Utang Gaji a.100 b.200 Beban Perlengkapan b.200 c.500 Beban Penyusutan c.500 800 800 1,500 2,500 10.000 100 7.700 200 7,000 100 1.100 1.500 300 100 200 500 16.400 16.400 7,000 1.100 100 200 500 1.900 7.000 Laba 5,100 5,100 7.700 200 1,500 2,500 300 10.000 1.500 100 100 Modal akhir 7.000 7.000 12,600 12,600 12,800 12,800 Account N. S AJP NSP R/L LM Neraca D K D K D K D K D K D K
  56. Bab IX
  57. LAPORAN KEUANGAN Lap. Laba rugi Laporan Perubahan Ekuitas Neraca Laporan Arus Kas
  58. Menyusun Laporan Keuangan (1) Laporan Laba rugi berisi Pendapatan Beban/Biaya Laba/Rugi Laporan Perubahan Modal berisi Modal Awal/Akhir Prive Laba/Rugi
  59. Menyusun Laporan Keuangan (2) Neraca berisi Harta Utang Modal Laporan Arus Kas berisi arus kas masuk dan keluar atas Kegiatan Operasi Kegiatan Pembiayaan Kegiatan Investasi
  60. Pendapatan jasa Rp.12.900.000 Nama Perusahaan Laporan Laba rugi Untuk periode yang berakhir 31 Desember 2002 Beban telepon Rp.1.000.000,00 Beban asuransi Rp. 250.000,00 Beban Depresiasi Rp.9.000.000,00 Beban gaji n Rp.2.000.000,00 + Jumlah biaya Rp.12.250.000,00 - Laba Rp. 650.000,00
  61. Modal 1 Januari Rp. 500.000.000,00 Nama Perusahaan Laporan Perubahan Modal Untuk periode yang berakhir 31 Desember 2002 Laba Rp. 650.000,00 + Modal per 31 Desember 2002 Rp.500. 650.000,00
  62. Kas Rp.356,250,00 Nama Perusahaan Neraca Per 31 Desember 1999 ( dalam ribuan rupiah) Piutang dagang Rp. 5.000,00 Asuransi dibayar dimuka Rp. 500,00 Kendaraan Rp.150.000,00 Akumulasi Penyusutan Rp. 9.000,00 - Nilai buku mesin Rp 141.000,00 Total harta Rp.553.250,00 Utang dagang Rp. 50.000,00 Utang gaji Rp. 2.000,00 Pendapatan DD Rp. 600,00 Modal Tn Raka Rp. 500.650,00 Total utang dan modal Rp 553.250,00 Piutang Pendapatan Rp. 500,00 Aktiva tetap : Aktiva : Aktiva Lancar : Peralatan Rp. 50.000,00 HUTANG : Modal
  63. Bab X
  64. Menutup Buku Besar Membuat jurnal dan posting sehingga rekening Pendapatan, Biaya dan Prive/Dividen bersaldo nol
    • Menutup rekening pendapatan
    • Menutup rekening beban
    • Menutup rekening ikhtisar laba rugi
    • Menutup rekening Prive
    • Pendapatan suatu periode bersifat menambah modal
    • Biaya dan prive suatu periode bersifat mengurangi
    • modal
    • Pendapatan dan biaya tahun ini masih tercatat di rekening masing-masing
    Apa Alasan-nya ? Caranya ?
  65. Menutup Rekening Pendapatan Ikhtisar Laba Rugi Jurnal Penutup Ikhtisar Laba Rugi Pendapatan Pendapatan Sebelum ditutup Setelah ditutup 12,900 12,900 12,900 12,900 P endapatan 12,900 Ikhtisar Laba rugi 12,900 Tgl Account Debit Kredit
  66. Menutup Rekening Beban telepon Ikhtisar Laba Rugi Jurnal Penutup Ikhtisar Laba Rugi Biaya telepon Biaya telepon Sebelum ditutup Setelah ditutup 12.900 1,000 1,000 1,000 1,000 Ikhtisar Laba rugi 1,000 Beban telepon 1,000 12,900 Tgl Account Debit Kredit
  67. Menutup Rekening Biaya asuransi Ikhtisar Laba Rugi Jurnal Penutup Ikhtisar Laba Rugi Biaya asuransi Biaya asuransi Sebelum ditutup Setelah ditutup 12.900 250 250 250 250 Ikhtisar Laba rugi 250 Beban asuransi 250 12,900 1,000 1,000 Tgl Account Debit Kredit
  68. Menutup Rekening Beban depresiasi Ikhtisar Laba Rugi Jurnal Penutup Ikhtisar Laba Rugi Beban depresiasi Beban Depresiasi Sebelum ditutup Setelah ditutup 12.900 9,000 9.000 9,000 9.000 Ikhtisar Laba rugi 9.000 Beban depresiasi 9.000 12,900 1,000 250 1,000 250 Tgl Account Debit Kredit
  69. Menutup Rekening Beban Gaji Ikhtisar Laba Rugi Jurnal Penutup Ikhtisar Laba Rugi Beban gaji Beban Gaji Sebelum ditutup Setelah ditutup 12.900 2,000 2.000 2,000 2.000 Ikhtisar Laba rugi 2.000 Beban Gaji 2.000 12,900 1,000 250 9,000 1,000 250 9.000 Tgl Account Debit Kredit
  70. Menutup Rekening Ikhtisar Laba rugi Ikhtisar Laba Rugi Ikhtisar Laba Rugi Modal Modal 12,900 12,900 1,000 250 9.000 2.000 500,000 500,000 1,000 250 9.000 2.000 Sebelum ditutup 650 650 Ikhtisar Laba rugi 650 Modal 650 Jurnal Penutup Setelah ditutup Tgl Account Debit Kredit
  71. Jika jurnal penutup untuk beban tersebut digabung sebagai berikut : Ikhtisar Laba rugi 12,250 Beban telepon 1,000 Beban asuransi 250 Beban depresiasi 9.000 Beban Gaji 2.000 Tgl Account Debit Kredit
  72. Jika perusahaan dalam bentuk Perseroan Terbatas
  73. Menutup Rekening Ikhtisar Laba rugi Ikhtisar Laba Rugi Ikhtisar Laba Rugi Laba ditahan Laba ditahan 2,000 2,000 550 100 0 0 550 100 Sebelum ditutup 1,350 1,350 Ikhtisar Laba rugi 1,350 Laba ditahan 1,350 Jurnal Penutup Setelah ditutup Tgl Account Debit Kredit
  74. Misalkan ada divident
  75. Menutup Rekening Divident, misal dalam tahun yang berjalan ada pembayaran divident Rp. 200 Divident Divident Laba ditahan Laba ditahan 200 0 1,350 200 Sebelum ditutup 200 200 Laba ditahan 200 Divident 200 Jurnal Penutup Setelah ditutup 1,350 Tgl Account Debit Kredit
  76. JURNAL BALIK Jurnal yang dibuat pada awal periode sebagai kebalikan dari sebagian jurnal penyesuaian pada akhir periode sebelumnya Apakah semua jurnal penyesuaian pada akhir periode sebelumnya harus dijurnal balik ?
  77. SIFAT JURNAL BALIK 1. Opsional ( dapat dilakukan dapat pula tidak dilakukan) 1. Hutang biaya 2. Piutang Pendapatan 3. Pendapatan Diterima Dimuka jika digunakan pendekatan pendapatan 4. Biaya Dibayar Dimuka jika digunakan pendekatan beban (biaya) 2. Tak semua AJP dijurnal balik, yang dijurnal balik adalah :
  78. JURNAL PENYESUAIAN JURNAL BALIK Beban Sewa 100 Hutang gaji 100 Hutang gaji 100 Beban Sewa 100 Jurnal Penyesuaian dan Jurnal Balik Tgl Account D K Tgl Account D K
  79. JURNAL PENYESUAIAN JURNAL BALIK Piutang bunga 150 Pend. Bunga 150 Pend. Bunga 150 Piutang Bunga 150 Jurnal Penyesuaian dan Jurnal Balik Tgl Account D K Tgl Account D K
  80. JURNAL PENYESUAIAN JURNAL BALIK Pend. Tiket 200 Pend. Tiket DD 200 Pend. Tiket DD 200 Piutang Tiket 200 Jurnal Penyesuaian dan Jurnal Balik Tgl Account D K Tgl Account D K
  81. JURNAL PENYESUAIAN JURNAL BALIK Sewa DD 900 Beban sewa 900 Beban sewa 900 Sewa DD 900 Jurnal Penyesuaian dan Jurnal Balik Tgl Account D K Tgl Account D K
  82. JURNAL PENYESUAIAN JURNAL BALIK Beban Sewa 100 Hutang gaji 100 Hutang gaji 100 Beban Sewa 100 Manfaat Jurnal balik Hutang gaji Beban gaji 100 Pada tanggal 1 Januari Hutang gaji bersaldo kredit 100 dan Beban gaji bersaldo nol 100 100 Jurnal bayar gaji Des di Januari konsistent dengan jurnal bulan lainnya  beban gaji didebit dan Kas dikredit Jurnal menjadi konsistent Tgl Account D K Tgl Account D K
  83. Terima kasih
  84. Slide Tambahan Contoh Jurnal Penutup
  85. Contoh Jurnal Penutup Misalkan Saldo account pendapatan, beban dan prive sebagai berikut : Pendapatan $ 2,000 Beban Gaji $ 550 Beban lain-lain $ 100 Prive $ 200 Modal $ 9,000
  86. Menutup Rekening Pendapatan Ikhtisar Laba Rugi Jurnal Penutup Ikhtisar Laba Rugi Pendapatan Pendapatan Sebelum ditutup Setelah ditutup 2.000 2,000 2,000 2,000 2,000 P endapatan 2,000 Ikhtisar Laba rugi 2,000 Tgl Account Debit Kredit
  87. Menutup Rekening Biaya Gaji Ikhtisar Laba Rugi Jurnal Penutup Ikhtisar Laba Rugi Biaya Gaji Biaya gaji Sebelum ditutup Setelah ditutup 2.000 500 550 500 50 550 Ikhtisar Laba rugi 550 Biaya gaji 550 50 2000 Tgl Account Debit Kredit
  88. Menutup Rekening Biaya Lain-lain Ikhtisar Laba Rugi Jurnal Penutup Ikhtisar Laba Rugi Biaya Lain-lain Biaya lain-lain Sebelum ditutup Setelah ditutup 2.000 100 100 100 100 Ikhtisar Laba rugi 100 Biaya lain-lain 100 2,000 550 550 Tgl Account Debit Kredit
  89. Menutup Rekening Ikhtisar Laba rugi Ikhtisar Laba Rugi Ikhtisar Laba Rugi Modal Modal 2,000 2,000 550 100 9,000 9,000 550 100 Sebelum ditutup 1,350 1,350 Ikhtisar Laba rugi 1,350 Modal 1,350 Jurnal Penutup Setelah ditutup Tgl Account Debit Kredit
  90. Menutup Rekening Prive Prive Prive Modal Modal 200 9,000 9,000 1,350 200 Sebelum ditutup 200 200 Modal 200 Prive 200 Jurnal Penutup Setelah ditutup 1,350 Tgl Account Debit Kredit
  91. Setelah Rekening Ditutup Biaya gaji Prive Pendapatan Modal 200 550 2,000 9,000 1,350 Biaya lain-lain Ikhtisar laba rugi 550 2,000 100 200 100 2,000 550 100 1,350 200 (1) (2) (3) (4) (5)
  92. Jika perusahaan dalam bentuk Perseroan Terbatas
  93. Menutup Rekening Ikhtisar Laba rugi Ikhtisar Laba Rugi Ikhtisar Laba Rugi Laba ditahan Laba ditahan 2,000 2,000 550 100 0 0 550 100 Sebelum ditutup 1,350 1,350 Ikhtisar Laba rugi 1,350 Laba ditahan 1,350 Jurnal Penutup Setelah ditutup Tgl Account Debit Kredit
  94. Misalkan ada divident
  95. Menutup Rekening Divident, misal dalam tahun yang berjalan ada pembayaran divident Rp. 200 Divident Divident Laba ditahan Laba ditahan 200 0 1,350 200 Sebelum ditutup 200 200 Laba ditahan 200 Divident 200 Jurnal Penutup Setelah ditutup 1,350 Tgl Account Debit Kredit
  96. Siklus akuntansi
  97. Siklus Akuntansi (Tanpa work sheet) Faktur Jurnal Transaksi Buku Besar Jurnal Penyesuaian Neraca Saldo Mencatat di Bukti Menjurnal Posting Menye-suaikan Buku Besar Menyu- sun Neraca Saldo Laba Rugi Jurnal Penutup 1 2 3 4 5 6 Neraca Lap. Perub. Modal
    • Menyusun laporan Keuangan
    • Menutup Buku besar
  98. Siklus Akuntansi ( Dengan work Sheet) Faktur Jurnal Transak si Buku Besar Work sheet AJP
    • Menyesuaikan BB.
    • Menyusun laporan Keuangan
    • Menutup Buku besar
    Mencatat di Bukti Menjurnal Posting Menyu-sun Work Sheet Laba Rugi Jurnal Penutup 1 2 3 4 5 Neraca Lap. Modal
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Matematika diskret

Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola,[2][3] merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.[4]

Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".[5] Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]

Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen. Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.[7]

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.[8]

Etimologi

Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.

Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristotle, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis".[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.

Sejarah

Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.
!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah matematika

Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.

Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.

Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.

Sistem bilangan Maya

Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi.[11] Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.

Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."[12]

[sunting] Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika

Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.
!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Keindahan matematika

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[13] Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".[14]

Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.

Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni.[15] Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16][17] Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Notasi, bahasa, dan kekakuan

Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa
!Artikel utama untuk bagian ini adalah: Notasi matematika

Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16.[18] Pada abad ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.

Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (rigor).

Lambang ketakhinggaan ∞ di dalam beberapa gaya sajian.

Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[19] Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[20]

Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.[21]

[sunting] Matematika sebagai ilmu pengetahuan

Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".

Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]

Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper.[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[25] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.

Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.

Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.

[sunting] Bidang-bidang matematika

Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.

Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

[sunting] Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.

1, 2, 3\,\! -2, -1, 0, 1, 2\,\! -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\! -e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\! 2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!
Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan rasional Bilangan real Bilangan kompleks

Ruang

Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan. Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sine cosine plot.svg Hyperbolic triangle.svg Torus.png Mandel zoom 07 satellite.jpg
Geometri Trigonometri Geometri diferensial Topologi Geometri fraktal

[sunting] Perubahan

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks. Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum. Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.

Integral as region under curve.svg Vector field.svg Airflow-Obstructed-Duct.png Limitcycle.jpg Lorenz attractor.svg Princ argument ex1.png
Kalkulus Kalkulus vektor Persamaan diferensial Sistem dinamika Teori chaos Analisis kompleks

[sunting] Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.

Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg
Teori bilangan Aljabar abstrak Teori grup Teori orde

[sunting] Dasar dan filsafat

Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu). Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.

p \Rightarrow q \, Venn A intersect B.svg Commutative diagram for morphism.svg
Logika matematika Teori himpunan Teori kategori

[sunting] Matematika diskret

Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.

Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29]

\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix} DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
Kombinatorika Teori komputasi Kriptografi Teori graf

[sunting] Matematika terapan

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Fisika matematika
Mekanika fluida
Analisis numerik
Optimisasi
Teori peluang
Statistika
Matematika keuangan
Teori permainan
Biologi matematika
Kimia matematika
Ekonomi matematika
Teori kontrol


Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)